Elektrotechnik – 2. Das elektrische Feld

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

2. Das elektrische Feld

1. Elektrische Ladung
2. Coulomb’sches Gesetz
3. Elektrische Feldstärke
4. Feldlinien und Satz von Gauß
5. Elektrisches Feld in Materie
6. Potential, Spannung, Arbeit
7. Homogenes Feld und Kondensatoren

Die vier fundamentalen Wechselwirkungen

1. Gravitation
   • Hält das Sonnensystem zusammen – wirkt auf Masse
2. Elektromagnetismus
   • Hält Atome und Moleküle zusammen – wirkt auf elektrische Ladung
3. Starke Wechselwirkung
   • Hält Atomkerne zusammen
4. Schwache Wechselwirkung
   • Verantwortlich für radioaktiven Zerfall

Elektrische Ladung (electric charge)

• Alle Materie besteht aus Elementarteilchen, von denen einige elektrische Ladungen tragen
• Elektrische Ladungen treten in zwei Arten auf: positive und negative Ladungen (Vorzeichen: Konvention!)
• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an

Aufbau der Materie

• Atome bestehen aus positiv geladenen Protonen, neutralen Neutronen und negativ geladenen Elektronen
• Protonen und Neutronen bilden den Atomkern
• Elektronen bewegen sich in der Atomhülle um den Atomkern

Elementarladung

• Elektrische Ladungen sind immer ganzzahlige Vielfache der Elementarladung (Definition des Coulombs – vgl. Kapitel 1!)
  • Elektron: (!)
  • Proton:
  • Up-Quark: , Down-Quark:
• Man sagt, die Ladung sei quantisiert

Coulomb’sches Gesetz (Coulomb’s law)

Die Kraft zwischen zwei Punktladungen ist und :

Im SI-System: mit der elektrischen Feldkonstante .

Analogie zur Schwerkraft

Newtonsches Gravitationsgesetz: Kraft zwischen zwei Himmelskörpern

: Gravitationskonstante,

Beispiel: Relative Stärke von Coulomb- und Gravitationskraft

Wasserstoffatom: Proton + Elektron. Wie viel stärker ist die elektrische Anziehung als die Gravitation? (→ Tafel)

• Proton: ,
• Elektron: ,

Elektromagnetismus im Alltag

Fast alle alltäglichen physikalischen Phänomene werden von der elektromagnetischen Wechselwirkung bestimmt!

Die Gravitation spielt nur eine Rolle, da

• es keine negativen Massen gibt → immer anziehend
• sich die elektrischen Ladungen von Elektronen und Protonen exakt aufheben

Elektrische Feldstärke (electric field [strength])

• Ein elektrisch geladenes Teilchen übt eine Kraft auf andere elektrisch geladene Teilchen aus
• Diese Kraft ist umso größer, je größer die Ladung der Probeteilchen ist
• Elektrische Feldstärke: Kraft pro Ladungseinheit, die auf eine Probeladung wirkt

Feld = ortsabhängige physikalische Größe (Vektorfeld/Skalarfeld)

Elektrisches Feld einer Punktladung

Die elektrische Feldstärke im Abstand einer Punktladung ist:

Jetzt sind Sie dran: Coulomb & Feldstärke (zu zweit)

Aufgabe 2

a) Im Feld einer Punktladung wirkt auf eine zweite Punktladung eine Kraft . wird entfernt. Welche Kraft wirkt auf eine neue Punktladung , die die vierfache Ladung besitzt und sich im doppelten Abstand zu befindet? (Mit Begründung – ohne Taschenrechner lösbar!)

b) Eine Punktladung befindet sich im Vakuum.
Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Abstand ?

c) Welche Kraft wirkt dort auf ein Elektron ()? In welche Richtung?

Zwischenstand & Ausblick

Heute:

• Ladung ist quantisiert () und hat zwei Vorzeichen
• Coulomb’sches Gesetz: – gleiche Form wie die Gravitation, aber viel stärker
• Elektrische Feldstärke : die Kraft, die eine Ladung „spüren würde"

Nächste Woche: Feldlinien – wie man Felder sichtbar macht, der Satz von Gauß und das elektrische Potential.

Feldlinien

• Feldlinien stellen Richtung und Stärke des elektrischen Feldes bildlich dar
• Sie verlaufen von positiven zu negativen Ladungen und zeigen die Richtung der Kraft an, die auf eine positive Probeladung wirken würde
• Je dichter die Linien, desto stärker das Feld

Feldlinien: Beispiele

Feldlinien: Plattenkondensator

Zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Platten: homogenes Feld (dazu gleich mehr)

Superpositionsprinzip

Das elektrische Feld mehrerer Ladungen ist die Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen:

• Felder stören sich nicht gegenseitig – sie addieren sich einfach
• Für kontinuierliche Ladungsverteilungen wird aus der Summe ein Integral (hier nicht vertieft)

Elektrische Flussdichte (electric flux density)

Fluss durch eine Fläche :

Satz von Gauß (Gauss’s law)

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung:

Anschaulich: Feldlinien beginnen und enden nur auf Ladungen – was an Fluss „herauskommt", muss von Ladung im Inneren stammen.

Besonders nützlich bei hoher Symmetrie (Kugel, Zylinder, Ebene).

Beispiel: Punktladung mit dem Satz von Gauß

Kugeloberfläche mit Radius um eine Punktladung – aus Symmetriegründen ist überall auf der Kugel gleich groß und radial:

Das Coulomb-Feld aus Woche 1 – jetzt ohne Coulomb’sches Gesetz hergeleitet!

Elektrisches Feld in Materie

• In nicht oder schwach leitenden Materialien führen elektrische Felder zu Polarisation: die positiven und negativen Ladungen im Material verschieben sich gegeneinander
• Das erzeugt ein internes Gegenfeld, das das äußere Feld abschwächt
• Solche polarisierbaren Materialien nennt man Dielektrika

Abschwächung des Feldes in Dielektrika

mit der Permittivitätszahl (auch relative Permittivität):

Elektrische Flussdichte in Dielektrika

Konvention: bezieht sich immer auf das Feld der freien Ladungen:

Vorteil: der Satz von Gauß gilt unverändert, wenn man nur die freien Ladungen zählt:

Jetzt sind Sie dran: Feldlinien & Dielektrika (zu zweit)

Aufgabe 3

a) Skizzieren Sie das Feldlinienbild zweier gleichnamiger Punktladungen. Wo ist das Feld null?

b) Die Punktladung aus letzter Woche (, ) wird von Vakuum in destilliertes Wasser () getaucht. Wie groß sind dort und ? Was ändert sich, was bleibt gleich?

Elektrische Arbeit im Feld

Bewegung einer positiven Probeladung im Feld einer positiven Punktladung :

• (nach außen): – Arbeit wird freigesetzt
• (nach innen): – Arbeit muss aufgebracht werden

Vgl. Mechanik: — aber hier ist abhängig von !

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential im Abstand von einer Punktladung :

Einheit: (Volt)

Äquipotentialflächen

Punkte gleichen Potentials bilden Äquipotentialflächen – sie stehen immer senkrecht auf den Feldlinien.

Analogie: Gravitationspotential

• Höhenlinien auf der Landkarte = Äquipotentiallinien
• Die Kraft wirkt in Richtung des stärksten Gefälles (senkrecht zu den Höhenlinien)

Elektrostatische Felder sind Potentialfelder: Feldlinien beginnen/enden auf Ladungen („Quellen/Senken") und sind nie in sich geschlossen.

Spannung & Arbeit

Elektrische Spannung (voltage) = Potentialdifferenz:

Elektrische Arbeit:

Die elektrische Arbeit ist unabhängig vom Weg!

Feld und Spannung

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Feldstärke und Spannung:

Jetzt sind Sie dran: Spannung (zu zweit)

Aufgabe 4

Noch einmal die Punktladung (im Vakuum):

Welche Spannung besteht zwischen zwei Punkten, die bzw. von der Punktladung entfernt sind?

Homogenes elektrisches Feld

• Konstante Feldstärke in Betrag und Richtung, parallele Feldlinien
• Äquipotentialflächen senkrecht zu den Feldlinien
• Spannung: (: Abstand in Feldrichtung)

Kondensatoren (capacitors)

Kondensatoren sind Bauelemente, die elektrische Ladung speichern.

Kapazität (capacitance):

Einheit: (Farad)

Kapazität ≠ Kapazität

Die Kapazität (capacity) einer Batterie ist eine Ladungsmenge!

z.B.:

Nicht zu verwechseln mit der Kapazität (capacitance) eines Kondensators in Farad!

Plattenkondensator

Kapazität steigt mit Fläche , Permittivität und kleinerem Abstand .

Kugel- und Zylinderkondensator

Herleitung: Satz von Gauß + (→ Skript; gleiche Methode wie beim Punktladungs-Beispiel)

Parallelschaltung von Kondensatoren

• Gleiche Spannung an allen Kondensatoren
• Gesamtladung = Summe der Einzelladungen

Reihenschaltung von Kondensatoren

• Gleiche Ladung auf allen Kondensatoren:
• Gesamtspannung = Summe der Einzelspannungen

Herleitung:

Energie im Kondensator

Beim Aufladen nimmt die Spannung mit der Ladung zu:

Kondensatoren mit geschichteten Dielektrika

Nebeneinander (= Parallelschaltung):

Hintereinander (= Reihenschaltung):

Anwendung: kapazitiver Ölstandsensor

Jetzt sind Sie dran: Kondensatoren (zu zweit)

Aufgabe 5

Zwei Kondensatoren und werden in Reihe geschaltet und an eine Spannung gelegt.

a) Wie groß ist die Gesamtkapazität ?

b) Wie groß sind die Teilspannungen und ?

c) Wie viel Energie ist insgesamt gespeichert?

Übersicht: Größen im elektrischen Feld

Unsere Basiseinheiten-Tabelle wächst

Herleitung an der Tafel: ,

Zusammenfassung: Das elektrische Feld

• Feldlinien: von + nach −, Dichte = Feldstärke; Äquipotentialflächen ⊥ Feldlinien
• Satz von Gauß: – mächtig bei Symmetrie
• Dielektrika schwächen das Feld:
• Potential , Spannung , Arbeit (wegunabhängig!)
• Homogenes Feld:
• Kondensator: ; Platte: ; parallel: addieren, in Reihe: addieren
• Energie:

Nächstes Kapitel: Gleichstrom – jetzt bewegen sich die Ladungen!